Упражнение 3. Matlab
From Ilianko
Contents
Управляващи оператори
if
if <expression>
statment
end
if <expression>
statement;
else
statement;
end
if <expression>
statement;
elseif
statement;
else
statement;
end
Релации и логически оператори
< , <= , >, >= , ~=, ==
&, &&, |, ||, ~
Логическо равенство да не се ползва за числа с плаваща запетая
switch
switch expression
case val1
statement
case {val2, val3
statement
otherwise
statement
end
Логическо равенство да не се ползва за числа с плаваща запетая
for
for index = nachalo:stypka:kraj % ako nqma stypka tq e 1 statement end
for i = A % A e vektor/matrica statement end
while
while expression statemnet end
Допълнителни управляващи оператори
break
continue - преминаване към следваща итерация на for или while цикъл
pause - пауза до натискане на клавиш ( pause(4) <=> sleep(4) )
keyboard - predawa uprawlenieto на клавиатурата (използва се при дебъгване). Спира се програмата и може да проверяваме всички стойност
return - връща се към програмата след keyboard
файл функции
Записва се като ime.m
function [a, b, c] = ime(x, y, z) global p, q; a = x; b = y; c = z; end
function y = signum(x)
% сигнум функция
if x>0
y = 1;
elseif x<0
y = -1;
else
0
end
end
>> signum(-5)
ans =
-1
>> signum(0)
ans =
0
>> signum(5)
ans =
1
Символни преобразувания
clear - изчистване на workspace
Задаване на символни величини
оператори за създаване на символни величини
sym - по-универсален
x = sym('x') ;
x =
x
>> y = pi y = 3.1416
Символите се показват по вляво!
Дефиниране на цял стринг
>> eq = sym ('a*x^2')
eq =
a*x^2
Диференциране по x >> diff(eq,x) ans = 2*a*x
Matrica на хилберт
H = hilb(5) H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111
Извеждане в символичен вид
>> sym(H) ans = [ 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5] [ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6] [ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7] [ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8] [ 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9]
В този случай няма да има грешка от закръгляне
>> det(H) ans = 3.7493e-12
Sled като отдясно всичко е символни величини и от ляво става символна
>> syms x a b z >> f = sin(x)*exp(z)^a/b f = (exp(z)^a*sin(x))/b
По ясна визуализация
>> pretty(f)
a
exp(z) sin(x)
--------------
b
Получаване на директно символна матрица
>> syms a b c >> A = [a b c; b c a; c a b] A = [ a, b, c] [ b, c, a] [ c, a, b]
Изчисляване на детерминанта
>> det(A) ans = - a^3 + 3*a*b*c - b^3 - c^3
>> pretty(inv(A)) +- -+ | 2 2 2 | | b c - a a c - b a b - c | | - ----------------------, - ----------------------, - ---------------------- | | 3 3 3 3 3 3 3 3 3 | | a - 3 a b c + b + c a - 3 a b c + b + c a - 3 a b c + b + c | | | | 2 2 2 | | a c - b a b - c b c - a | | - ----------------------, - ----------------------, - ---------------------- | | 3 3 3 3 3 3 3 3 3 | | a - 3 a b c + b + c a - 3 a b c + b + c a - 3 a b c + b + c | | | | 2 2 2 | | a b - c b c - a a c - b | | - ----------------------, - ----------------------, - ---------------------- | | 3 3 3 3 3 3 3 3 3 | | a - 3 a b c + b + c a - 3 a b c + b + c a - 3 a b c + b + c | +-
Подразбиращи се символни променливи
При повече променливи се диференцира по най близката до "х", ако няма зададена
function F = intAB( f ) % интеграл от произволна функция % a,b, - интервал на интегриране %UNTITLED3 Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here syms x a b; F = int(f, x, a, b); end
>> y = intAB( sin(x) ) y = cos(a) - cos(b)
Аритметика с променлива точност
Три типа аретмитични операции
- Numеric - тип double (точност)
- Rational - точната аритметика
- VPA - Variable Precision Arithmetic - сами задаваме броя на значещите числа (32 по подразбиране)
>> 1/2 +1/3 ans = 0.833333333333333 - този резултат не е точен
Достатъчен е да обявим един параметър в символен тип и всички се приемат за символни
>> sym(1/2) + 1/3 ans = 5/6
>> vpa(1/2 +1/3) ans = 0.83333333333333325931846502498956
>> vpa(1/2 +1/3, 20) ans = 0.833333333333333
>> vpa(1/2 +1/3) ans = 0.83333333333333325931846502498956397175788879394531 >>a = double(ans) a = 0.833333333300000
1.0e10+ 1.0e-10
ans =
1.000000000000000e+10
sym('1.0e10')+ sym('1.0e-10')
ans =
10000000000.0000000001
Матрица double точност
F= [exp(1) sqrt(2); log(3) rand] F = 2.718281828459046 1.414213562373095 1.098612288668110 0.814723686393179
V = vpa(F,30) V = [ 2.71828182845904553488480814849, 1.41421356237309514547462185874] [ 1.09861228866810956006361266191, 0.814723686393178936349102059467]
S = sym(F) S = [ 3060513257434037/1125899906842624, 2^(1/2)] [ 2473854946935173/2251799813685248, 7338378580900475/9007199254740992]
Сравнява се по елементно
>> double(V) == double(S)
ans =
1 1
1 1
опростяване и преобразуване на изрази
collect - използва се с полиноми и групира събираемите по степента
>> p = sym('(x+a)^4 +(x-1)^3 - (x-a)^2 - a*x +x-3')
p =
x + (x - 1)^3 - a*x + (a + x)^4 - (a - x)^2 - 3
>> pc = collect(p, x)
??? Undefined function or variable 'x'.
>> pc = collect(p)
pc =
x^4 + (4*a + 1)*x^3 + (6*a^2 - 4)*x^2 + (4*a^3 + a + 4)*x + a^4 - a^2 - 4
</code>Групирането автоматично ще избере х
Ако искаме да групираме по а, и а не е обявено с "syms a"
pc = collect(p, 'a')
pc =
a^4 + (4*x)*a^3 + (6*x^2 - 1)*a^2 + (4*x^3 + x)*a + x + (x - 1)^3 - x^2 + x^4 - 3
coeffs
>> syms a b c d x;
>> p = a*x^3 - 2*b*x^2 + 3*c*x - 4*d;
>> coeffs(p)
ans =
[ -4, 3, -2, 1]
horner
expand
Развива израз, разкрива скоби ...
>> expand( (x - 1)*(x-2)*(x-3))
ans =
x^3 - 6*x^2 + 11*x -
>> expand( sin(x+y))
ans =
cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)
factor
Obratnoto na expand
>> expand( (x - 1)*(x-2)*(x-3))
ans =
x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6
>> factor(ans)
ans =
(x - 3)*(x - 1)*(x - 2)
sym2poly poly2sym
>> syms x
>> ps = x^3-2*x^2+3*x + 4;
>> %da go preobrazuvame v polynom;
>> p = sym2poly(ps)
p =
1 -2 3 4
>> qs = poly2sym(p)
qs =
x^3 - 2*x^2 + 3*x + 4
simplify, simple
syms x
>> f = int(1/(x^12-1))
f =
atan(-(3^(1/2)*x - i*x)/(3^(1/2)*i - 1))*(i/12 - 3^(1/2)/12) - atan((x + 3^(1/2)*i*x)/(3^(1/2)*i - 1))*((3^(1/2)*i)/12 + 1/12) - atan((x - 3^(1/2)*i*x)/(3^(1/2)*i + 1))*((3^(1/2)*i)/12 - 1/12) - (i*atan(-i*x))/6 - atan((3^(1/2)*x + i*x)/(3^(1/2)*i + 1))*(i/12 + 3^(1/2)/12) - atan(x)/6
syms x
>> f = int(1/(x^12-1))
f =
atan(-(3^(1/2)*x - i*x)/(3^(1/2)*i - 1))*(i/12 - 3^(1/2)/12) - atan((x + 3^(1/2)*i*x)/(3^(1/2)*i - 1))*((3^(1/2)*i)/12 + 1/12) - atan((x - 3^(1/2)*i*x)/(3^(1/2)*i + 1))*((3^(1/2)*i)/12 - 1/12) - (i*atan(-i*x))/6 - atan((3^(1/2)*x + i*x)/(3^(1/2)*i + 1))*(i/12 + 3^(1/2)/12) - atan(x)/6
>> simplify(diff(f))
ans =
1/(x^12 - 1)
>> simple(diff(f))
ans =
1/(x^12 - 1)
sub
Zaместване на буква с израз
f = sym('(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) + a^4/b^4')
f =
(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) + a^4/b^4
>> f = subs( f, {'a' , 'b'}, {'(exp(x) + exp(-x))', 'sin(x) + cos(x)'})
f =
(1/exp(x) + exp(x))^4/(cos(x) + sin(x))^4 - ((cos(x) + sin(x))^2 + (1/exp(x) + exp(x))^2)/((cos(x) + sin(x))^2 - (exp(-x) + exp(x))^2)
>> pretty(f)
/ 1 \4 2 / 1 \2
| ------ + exp(x) | (cos(x) + sin(x)) + | ------ + exp(x) |
\ exp(x) / \ exp(x) /
-------------------- - -----------------------------------------
4 2 2
(cos(x) + sin(x)) (cos(x) + sin(x)) - (exp(-x) + e
Решаване на алгебрични уравнения
solve
Решаване на отделни уравнения и системи от уравнения
solve(f);
<pre<
>> f = 'a*x^2 +b.x +c'
f =
a*x^2 +b.x +c
>> solve(f)
ans =
(- bx - c)^(1/2)/a^(1/2)
-(- bx - c)^(1/2)/a^(1/2)
>> pretty(solve(f))
+- -+
| 1/2 |
| (- bx - c) |
| ------------- |
| 1/2 |
| a |
| |
| 1/2 |
| (- bx - c) |
| - ------------- |
| 1/2 |
| a |
sol = solve('cos(2*x) + sin(x) = 1')
sol =
0
pi/6
(5*pi)/6
Система от уравнения solve(f1,f2), solve(f1,f2, x,y)
Два начина за адресиране на решението
>> f1= x*(2-y) - cos(x)*exp(y)
f1 =
- exp(y)*cos(x) - x*(y - 2)
>> f2 = 2 + x - y - cos(x) -exp(y)
f2 =
x - y - cos(x) - exp(y) + 2
>> [x, y] = solve
>>
>> [x,y] = solve(f1,f2)
x =
0.73908513321516064165531208767387340401341175890075746
y =
0.44285440100238858314132799999933681971626212937347968
математически анализ
limit
>> syms x
>> limit(sin(x)/x, x, 0)
ans =
1
>> syms n
>> limit((1+x/n)^n, n , Inf)
ans =
exp(x)
diff
diff(y), diff(y,x)
>> syms y, f = exp(-3*x)*sin(x*y)/sqrt(y)
f =
sin(x*y)/(y^(1/2)*exp(3*x))
>> diff(f,x)
ans =
(y^(1/2)*cos(x*y))/exp(3*x) - (3*sin(x*y))/(y^(1/2)*exp(3*x))
>> pretty(diff(f,y))
x cos(x y) sin(x y)
------------- - -------------
1/2 3
y exp(3 x) -
2
2 y exp(3 x)
>>
