Difference between revisions of "Числено интегриране"

From Ilianko
 
(22 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 115: Line 115:
  
 
<math>
 
<math>
\begin{alignat}{1}
+
\begin{align}
 
I \approx \int_{x_0}^{x_1} L_1 (x)\,dx = \\
 
I \approx \int_{x_0}^{x_1} L_1 (x)\,dx = \\
 
& = \int_{x_0}^{x_1} \left ( y_0 \frac{x-x_1}{-h}  +y_1 \frac{x-x_0}{h} \right ) \,dx \\
 
& = \int_{x_0}^{x_1} \left ( y_0 \frac{x-x_1}{-h}  +y_1 \frac{x-x_0}{h} \right ) \,dx \\
 
& = \int_{x_0}^{x_1} y_0 \frac{x-x_1}{-h} \,dx + \int_{x_0}^{x_1} y_1 \frac{x-x_0}{h} \,dx \\
 
& = \int_{x_0}^{x_1} y_0 \frac{x-x_1}{-h} \,dx + \int_{x_0}^{x_1} y_1 \frac{x-x_0}{h} \,dx \\
& = \frac{y_0}{-h}\int_{x_0}^{x_1} (x-x_1) \,dx + \frac{y_1}{h}\int_{x_0}^{x_1} (x-x_0) \,dx \\
+
& = \frac{y_0}{-h}\int_{x_0}^{x_1} (x-x_1) \,dx + \frac{y_1}{h}\int_{x_0}^{x_1}(x-x_0) dx \\
& = \frac{y_0}{-h} \frac{(x-x_1)}{2} \Bigg |_{x_0}^{x_1}  + \frac{y_1}{h} \frac{(x-x_0)^2}{2} \Bigg |_{x_0}^{x_1} \\
+
& = \frac{y_0}{-h} \frac{(x-x_1)^2}{2} \Bigg |_{x_0}^{x_1}  + \frac{y_1}{h} \frac{(x-x_0)^2}{2} \Bigg |_{x_0}^{x_1} \\
 
& = h \frac{(y_0+y_1)}{2}  
 
& = h \frac{(y_0+y_1)}{2}  
\end{alignat}{2}
+
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
====Постановка====
+
<math> |r_1| \leq M_2\frac{h^3}{12} </math>
 +
 
 +
==== Формули ====
 +
<math> I \approx h \left ( \frac{y_0+y_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}{y_i} \right ) </math>
 +
 
 +
<math>| R(x) | \leq n \frac{M_2}{2} \frac{h^3}{12}  = M_2\frac{(b-a)}{12}h^2</math>
 +
 
 
====Решение====
 
====Решение====
 +
Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници
 +
<math>\int_2^3 \frac{ln(x)}{x}\,dx , n = 10 </math>
 +
 +
<code><pre>
 +
h = 0.1;
 +
sum = 0;
 +
for i = 2+h:h:3-h
 +
sum = log(i)/i + sum
 +
end
 +
sum = sum + (log(2)/2+log(3)/3)/2
 +
I = sum*h
 +
I =  0.36317
 +
</pre></code>
 +
 
====Грешка====
 
====Грешка====
 
====Анализ====
 
====Анализ====
Line 136: Line 156:
 
====Грешка====
 
====Грешка====
 
====Анализ====
 
====Анализ====
 +
 +
[http://ilianko.com/files/Simpson08s.pdf Simpson’s Rule and Newton-Cotes Formulas]
 +
 +
[http://ilianko.com/files/numerical_integration_example.pdf промери]
 +
 +
[http://ilianko.com/files/numerical_integration.pdf теория]
 +
 +
[http://ilianko.com/files/numerical_integration_lecture.pdf лекция]

Latest revision as of 14:14, 6 January 2013

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. , където:

  • може да се интегрира точно
  • e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала за .

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

  • Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
  • когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла .


Представяме интеграла по следния начин: .

Формули на Нютон-Коутс за числено интегриране

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници

Решение. По условие


Метод на правоъгълниците

Метод на правоъгълниците

Съгласно

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

Аналитично решение

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % sum
for i = 2:h:3-h
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране:

Сумарна грешка:



за

Максималната стойност в [2,3] на е при x = 2

Анализ

Разликата от аналитичното решение и численото решение е , което е в рамките на максималната грешка.

Формула на трапеца

Геометрично извеждане

Идеята на геометричното извеждане е да замести площта под кривата y = f(x) за x = a до х = b с площта на трапец ограничена от точките (a, 0), (b, 0), [a, f (a)], и [b, f (b)].

Метод на трапеца

Правилото на трапеца няма как да е точно за големи интервали, но ако разглежданият интервал се раздели на по-малки интервали и се сумират техните стойности ще се получи сравнително точно заместване. Ако функцията f има втора производна то грешката от интегриране намалява с , където h e големината на интеграла.

Аналитично извеждане

грешка на приближението

, където

Интегрираме в интервала


Формули

Решение

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници

h = 0.1;
sum = 0;
for i = 2+h:h:3-h
sum = log(i)/i + sum
end
sum = sum + (log(2)/2+log(3)/3)/2
I = sum*h
I =  0.36317

Грешка

Анализ

Формула на Симпсън

Постановка

Решение

Грешка

Анализ

Simpson’s Rule and Newton-Cotes Formulas

промери

теория

лекция