Difference between revisions of "Числено интегриране"

From Ilianko
Line 128: Line 128:
  
 
====Постановка====
 
====Постановка====
<math> I \approx h \left ( \frac{y_0+y_n}{2} + \sum_{i=1}{n-1}y_i \right ) </math>
+
<math> I \approx h \left ( \frac{y_0+y_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}{y_i} \right ) </math>
  
 
====Решение====
 
====Решение====

Revision as of 13:18, 6 January 2013

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. , където:

  • може да се интегрира точно
  • e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала за .

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

  • Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
  • когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла .


Представяме интеграла по следния начин: .

Формули на Нютон-Коутс за числено интегриране

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници

Решение. По условие


Метод на правоъгълниците

Метод на правоъгълниците

Съгласно

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

Аналитично решение

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % sum
for i = 2:h:3-h
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране:

Сумарна грешка:



за

Максималната стойност в [2,3] на е при x = 2

Анализ

Разликата от аналитичното решение и численото решение е , което е в рамките на максималната грешка.

Формула на трапеца

Геометрично извеждане

Идеята на геометричното извеждане е да замести площта под кривата y = f(x) за x = a до х = b с площта на трапец ограничена от точките (a, 0), (b, 0), [a, f (a)], и [b, f (b)].

Метод на трапеца

Правилото на трапеца няма как да е точно за големи интервали, но ако разглежданият интервал се раздели на по-малки интервали и се сумират техните стойности ще се получи сравнително точно заместване. Ако функцията f има втора производна то грешката от интегриране намалява с , където h e големината на интеграла.

Аналитично извеждане

грешка на приближението

, където

Интегрираме в интервала


Постановка

Решение

Грешка

Анализ

Формула на Симпсън

Постановка

Решение

Грешка

Анализ