Difference between revisions of "Числено интегриране"

From Ilianko
Line 59: Line 59:
 
Сумарна грешка:  
 
Сумарна грешка:  
  
<math>R \leq n*M_1 \frac{h^2}{2} = M_1 \frac{h(b-a)}{2}</math>
+
<math>R \leq n*M_1 \frac{h^2}{2} = M_1 \frac{h(b-a)}{2} </math>
  
  
 
</math>
 
 
<math></math>
 
<math></math>
 
<math></math>
 
<math></math>
Line 74: Line 72:
  
 
<math> M_1 =  {1 - ln(2)}{2^2} = 0.077 </math>
 
<math> M_1 =  {1 - ln(2)}{2^2} = 0.077 </math>
 +
<math> R = M_1 \frac{h(b-a)}{2} = 0.077*0.1/2 = 0.004

Revision as of 08:57, 6 January 2013

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. , където:

  • може да се интегрира точно
  • e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала за .

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

  • Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
  • когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла .

Тогава:



Друг подход е следният: Представяме интеграла по следния начин:

(1) .

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници

Решение. По условие

Решение

Съгласно

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

Аналитично решение

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % temp
for i = 2:0.1:3-0.1
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране:

Сумарна грешка:



за

Максималната стойност в [2,3] на е при x = 2

<math> R = M_1 \frac{h(b-a)}{2} = 0.077*0.1/2 = 0.004