Difference between revisions of "Махало"

From Ilianko
Line 99: Line 99:
 
</pre></code>
 
</pre></code>
  
[[Image:mahAn.png|frame|Нито повече, нито по-малко от една синосоида]]
+
[[Image:mahAn.png|frame|none|center|Нито повече, нито по-малко от една синосоида]]
 
 
  
 
=== Аналитично решение с Matlab ===
 
=== Аналитично решение с Matlab ===

Revision as of 09:53, 3 July 2011

Движение на махало под въздействие на гравитацията

Цел: Създаване на връзки между диференциране и диференциални уравнения.

Постановка: Математическо махало. (Съпротивлението на въздуха се пренебрегва). Да се намери зависимостта на махалото спрямо времето, т.е. функцията на движение на махалато.

Анализ: Във всеки момент махалото се движи с различна скорост и ускорение, зависещи от ъгъла на отклонение на махалото.

Производни, разстояние, скорост и ускорение.

Движението на махалото се извършва по окръжност с радиус равен на дължината на нишката, на която е окачено махалото. От тук, следва че:

За да изразим скоростта ползваме първата производна (изменението на разстоянието за единица време). Изменя се само ъгълът, а дължината на нишката е константа и се запазва:

По да изразим ускорението, използваме втората производна

(1)

Сили действащи на махалото

Под внимание се взема само силата действаща по посока на движението. Допирателната по окръжността на движение (тангенциалната сила ( танго -> допир)). Перпендикулярната сила (нормалната ) се неутрализира.

От II закон на нютон

За махалото (2)

Диференциално уравнение на махало

От (1) и (2)

Решаване на диференциалното уравнение

Има два подхода при решаване на диференциални уравнения, аналитичен и числен. При конкретното уравнение са възможни и двата подхода, но аналитичният метод може да се използва за . В този случай диференциалното уравнение ще се преобразува в линейно от втори ред.

Аналитично решение

Полагаме , от тук - хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред

Уравнението е от вида , затова лесно могат да се намерят решения във вида , където за r се решава уравнението , a именно:

от тук =>

За получаване на конкретно решение ще зададем начални условия. Примерно в началното положение , махалото е отклонено на градуса и пуснато свободно, т.е. с нулева начална скорост.

=>

За решение на задача при малки ъгли се получава

e ъгловата скорост с която ще се движи махалото.

От тук

Визуализация на решението с матлаб

Имаме следните начални условия:

l = 5; % m
g = 9.8; % m/s^2
theta_0 = 17; % degree
theta_0r = 17*pi/180 % ъгъл в радиани
omega = sqrt(g/l); % ъгловата скорост
t = 0:0.1:20; % интуитивно си избираме подходящ интервал за изследване
theta = theta_0r*cos(omega.*t); % Фундаментална формула, с който започва анализа на трептенията

% За тези с по-малко въображение и тези, които искат да представят резултатите на други
plot(t,theta); 
xlabel('t [s]'), ylabel('theta [rad]');
axis([ 0 20 -0.4 0.4]);
title('Matematichesko mahalo');
% Само трябва да добавим съпротивление на въздуха; вятър; маса на нишката, която държи махалото; трептене на опрната точка и да решим за всякакви начални условия. 
Нито повече, нито по-малко от една синосоида

Аналитично решение с Matlab