Difference between revisions of "Махало"

From Ilianko
Line 72: Line 72:
 
<math> \theta(t) = \theta_{0} cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t)  </math>  
 
<math> \theta(t) = \theta_{0} cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t)  </math>  
  
<math> \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{m}{s^{2}}*\frac{1}{m}} = \frac{1}{s} = \omega * frac{rad}{s} </math> e скоростта с която ще се движи махалото
+
<math> \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{m}{s^{2}}*\frac{1}{m}} = \frac{1}{s} = \omega * \frac{rad}{s} </math> e ъгловата скорост с която ще се движи махалото.
 +
От тук <math> \theta(t) = \theta_{0} cos(\omega t)  </math>
 +
 
  
  

Revision as of 12:25, 2 July 2011

Движение на махало под въздействие на гравитацията

Цел: Създаване на връзки между диференциране и диференциални уравнения.

Постановка: Математическо махало. (Съпротивлението на въздуха се пренебрегва). Да се намери зависимостта на махалото спрямо времето, т.е. функцията на движение на махалато.

Анализ: Във всеки момент махалото се движи с различна скорост и ускорение, зависещи от ъгъла на отклонение на махалото.

Производни, разстояние, скорост и ускорение.

Движението на махалото се извършва по окръжност с радиус равен на дължината на нишката, на която е окачено махалото. От тук, следва че:

За да изразим скоростта ползваме първата производна (изменението на разстоянието за единица време). Изменя се само ъгълът, а дължината на нишката е константа и се запазва:

По да изразим ускорението, използваме втората производна

(1)

Сили действащи на махалото

Под внимание се взема само силата действаща по посока на движението. Допирателната по окръжността на движение (тангенциалната сила ( танго -> допир)). Перпендикулярната сила (нормалната ) се неутрализира.

От II закон на нютон

За махалото (2)

Диференциално уравнение на махало

От (1) и (2)

Решаване на диференциалното уравнение

Има два подхода при решаване на диференциални уравнения, аналитичен и числен. При конкретното уравнение са възможни и двата подхода, но аналитичният метод може да се използва за . В този случай диференциалното уравнение ще се преобразува в линейно от втори ред.

Аналитично решение

Полагаме , от тук - хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред

Уравнението е от вида , затова лесно могат да се намерят решения във вида , където за r се решава уравнението , a именно:

от тук =>

За получаване на конкретно решение ще зададем начални условия. Примерно в началното положение , махалото е отклонено на градуса и пуснато свободно, т.е. с нулева начална скорост.

=>

За решение на задача при малки ъгли се получава

e ъгловата скорост с която ще се движи махалото. От тук