Difference between revisions of "Махало"

From Ilianko
Line 41: Line 41:
 
<math>\ell{d^2\theta\over dt^2} + g\sin\theta = 0  <=> \ell{d^2\theta\over dt^2} + g\theta = 0, \theta < 20^{\circ}</math>
 
<math>\ell{d^2\theta\over dt^2} + g\sin\theta = 0  <=> \ell{d^2\theta\over dt^2} + g\theta = 0, \theta < 20^{\circ}</math>
  
Полагаме <math> \theta  = y
+
Полагаме <math> \theta  = y \\
  
\ell{y''} + gy = 0 </math>  
+
\ \ell{y''} + gy = 0 </math>  
  
  

Revision as of 09:57, 29 June 2011

Движение на махало под въздействие на гравитацията

Цел: Създаване на връзки между диференциране и диференциални уравнения.

Постановка: Математическо махало. (Съпротивлението на въздуха се пренебрегва). Да се намери зависимостта на махалото спрямо времето, т.е. функцията на движение на махалато.

Анализ: Във всеки момент махалото се движи с различна скорост и ускорение, зависещи от ъгъла на отклонение на махалото.

Производни, разстояние, скорост и ускорение.

Движението на махалото се извършва по окръжност с радиус равен на дължината на нишката, на която е окачено махалото. От тук, следва че:

За да изразим скоростта ползваме първата производна (изменението на разстоянието за единица време). Изменя се само ъгълът, а дължината на нишката е константа и се запазва:

По да изразим ускорението, използваме втората производна

(1)

Сили действащи на махалото

Под внимание се взема само силата действаща по посока на движението. Допирателната по окръжността на движение (тангенциалната сила ( танго -> допир)). Перпендикулярната сила (нормалната ) се неутрализира.

От II закон на нютон

За махалото (2)

Диференциално уравнение на махало

От (1) и (2)

Решаване на диференциалното уравнение

Има два подхода при решаване на диференциални уравнения, аналитичен и числен. При конкретното уравнение са възможни и двата подхода, но аналитичният метод може да се използва за . В този случай диференциалното уравнение ще се преобразува в линейно от втори ред.

Аналаитично решение

Полагаме Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta = y \\ \ \ell{y''} + gy = 0 }