Числено интегриране

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. $f(x)=\phi (x)+r(x)$, където:

• $\phi (x)$ може да се интегрира точно
• $r(x)$ e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала $[a,b]$ за $f(x)$.

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

• Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
• когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Представяме интеграла по следния начин: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}A_{i}f(x_{i})+R(f)$.

Формули на Нютон-Коутс за числено интегриране

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници $\int _{2}^{3}{\frac {ln(x)}{x}}\,dx,n=10$

Решение. По условие Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b] = [2,3]; n=10}

Метод на правоъгълниците

$h={\frac {b-a}{n}}={\frac {3-2}{10}}=0.1$

Съгласно $I\approx \int _{a}^{b}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}+\int _{x_{1}}^{x_{2}}+...+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}}=y_{0}h+y_{1}h+...+y_{n-1}h=h\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}$

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \approx h \sum_{i=0}^{n-1} y_i = 0.362193}

Аналитично решение

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_2^3 \frac{log(x)}{x} dx = 1/2 (log^2(3)-log^2(2)) \approx 0.363248}

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % temp
for i = 2:0.1:3-0.1
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vert r_0 \vert \leq \left | \int_{x_0}^{x_1} R_0\,dx\ \right | \leq M_1 \left | \int_{x_0}^{x_1} (x-x_0)\,dx\ \right | = M_1 \frac{ (x-x_0)^2 }{2} \Bigg|_{x_0}^{x_1} = M_1 \frac{h^2}{2} = O(h^2) }

Сумарна грешка:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R \leq n*M_1 \frac{h^2}{2} = M_1 \frac{h(b-a)}{2} }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1=\max\limits_{[2,3]}\vert f'(\xi)\vert}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=\frac{ln(x)}{x}} за Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'=\frac{1-ln(x)}{x^2}}

Максималната стойност в [2,3] на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'=\frac{1-ln(x)}{x^2}} е при x = 2

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1 = \frac{1 - ln(2)}{2^2} = 0.077 }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = M_1 \frac{h(b-a)}{2} = 0.077*0.1/2 = 0.004}

Анализ

Разликата от аналитичното решение и численото решение е Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.3632 - 0.3621 = 0.0011} , което е в рамките на максималната грешка.