Difference between revisions of "Числено интегриране"
| Line 1: | Line 1: | ||
В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения. | В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения. | ||
| − | + | Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. | |
| − | Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала <math>[a,b]</math> за | + | <math>f(x) = \phi(x) + r(x)</math>, където: |
| + | *<math>\phi(x)</math> може да се интегрира точно | ||
| + | *<math>r(x)</math> e остатъка (грешката - residual) | ||
| + | Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала <math>[a,b]</math> за <math>f(x)</math>. | ||
Числените методи за интегриране се налага да се използват: | Числените методи за интегриране се налага да се използват: | ||
| − | ♦ Когато не съществува примитивна функция (интегралът не се изразява с елементарни функции | + | ♦ Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции) |
♦ когато примитивната е много сложен израз | ♦ когато примитивната е много сложен израз | ||
| Line 11: | Line 14: | ||
Тогава: | Тогава: | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
Revision as of 12:38, 5 January 2013
В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.
Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \phi(x) + r(x)} , където:
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(x)} може да се интегрира точно
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r(x)} e остатъка (грешката - residual)
Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} за Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} .
Числените методи за интегриране се налага да се използват: ♦ Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции) ♦ когато примитивната е много сложен израз
Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx} .
Тогава:
Друг подход е следният: Представяме интеграла по следния начин:
(1) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \sum_{i=1}^{n} A_i f(x_i) + R(f) } .
