Difference between revisions of "Упражнение 5. Matlab"

From Ilianko
 
(11 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 39: Line 39:
  
 
== Преобразувания на Лаплас ==
 
== Преобразувания на Лаплас ==
 +
<code><pre>
 +
>> syms h w p k
 +
>> syms t, ilaplace(h*w/((p^2+w^2)*(p^2+k^2)), p, t)
 +
 +
ans =
 +
 +
(h*sin(t*w))/((k + w)*(k - w)) - (h*w*sin(k*t))/(k*(k + w)*(k - w))
 +
 +
>> y = simplify(ans)
 +
 +
y =
 +
 +
(h*(k*sin(t*w) - w*sin(k*t)))/(k*(k^2 - w^2))
 +
 +
>> pretty(y)
  
 +
  h (k sin(t w) - w sin(k t))
 +
  ---------------------------
 +
              2    2
 +
          k (k  - w )
 +
>>
 +
</pre></code>
  
 +
syms p x, fi = ilaplace(1/(p-1)^2, p, x)
 +
fi =
 +
x*exp(x)
 +
 +
<code><pre>
 +
 +
>> syms x p k w
 +
>> f = exp(-k*x)*sin(w*x + k);
 +
>> F = laplace(f, x, p)
 +
 +
F =
 +
 +
(sin(k)*(k + p) + w*cos(k))/((k + p)^2 + w^2)
 +
 +
>> syms t, pretty(simplify(F, p,x))
 +
??? Error using ==> sym.simplify
 +
Too many input arguments.
 +
 +
>> syms t, simplify(ilaplace(F, p,x))
 +
 +
 +
 +
ans =
 +
 +
sin(k + w*x)/exp(k*x)</pre></code>
 +
 +
Пример: ... няма го
 +
 +
>> syms x p ,laplace(exp(-x)*sin(2*x),x,p)
 +
ans =
 +
2/((p + 1)^2 + 4)
 +
 +
y = ilaplace(2*p/((p^2+p+1)*((p+1)^2+4)), p, x)
 +
plot(-13:0.01:3,subs(y,x, -13:0.01:3))
 +
[[Image:LPlot.png|frame|none|Лаплас]]
 +
 +
Проверка
 +
>> diff(y,x) +y + int(subs(y,x,t),t,0,x)
 +
ans =
 +
(2*cos(2*x))/(13*exp(x)) - (8*(cos(2*x)/4 - 2*sin(2*x)))/(13*exp(x)) - (8*(cos((3^(1/2)*x)/2)/4 + 
 +
(3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/2))/(13*exp(x/2)) - (2*cos((3^(1/2)*x)/2))/(13*exp(x/2)) -
 +
(3*sin(2*x))/(13*exp(x)) + (4*(cos((3^(1/2)*x)/2) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/6))/(13*exp(x/2)) +
 +
(14*3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/(39*exp(x/2))
 +
>> simplify(ans)
 +
ans =
 +
sin(2*x)/exp(x)
 +
 +
 +
 +
== Решаване системи линейни уравнения ==
 +
 +
A*x= B
 +
x = A\B % \ може да се прилага при правоъгълни матрици, при повече редове от колони се решава за средно квадратичната стойност
 +
 +
A = [3 7 5; 2 6 9; 4 4 4]
 +
A =
 +
 +
    3    7    5
 +
    2    6    9
 +
    4    4    4
 +
>> b = [2 3 4]'
 +
b =
 +
    2
 +
    3
 +
    4
 +
>> A\b
 +
ans =
 +
    1.0500
 +
  -0.4500
 +
    0.4000
 +
 +
При лошо обоснована матрица може да има грешки
 +
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
 +
A =
 +
    1    2    3
 +
    4    5    6
 +
    7    8    9
 +
>> det(A)
 +
ans =
 +
    0  % -> лошо обоснована матрица
 +
 +
>> x = A\b
 +
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
 +
        Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-18.
 +
x =
 +
  -3.333333333333333
 +
  5.666666666666667
 +
  -2.000000000000000
 +
 +
== Eigen values  lambda = eig(A) ==
 +
 +
трептения на системи с няколко степени на свобода
 +
 +
A*x = lam*x
 +
(A-lam*I)*x = 0 % homogenna
 +
det(A - lam*I) = 0 % togava ima resheniq A[n][m]
 +
a[1]lam^n + a[2]lam^(n-1) ... = 0 % edin polinom ot n stepen ima n re[eniq
 +
lam[1], lam[2] ... - собствени стойности на матрицата А
 +
 +
за всяка собствена стойност има собствен вектор от решения
 +
 +
lambda = eig(A)
 +
[X, L] = eig(A)
 +
lambda[1] = L(1,1); lambda[2] = L(2,2)
 +
 +
'''Обощена задача на собствените стойности '''
 +
 +
A*x = lam*B*x % Anxn, Bnxn
 +
(A-lam*B)x = 0
 +
det(A-lam*B) = 0
 +
 +
0
 +
<code><pre>
 +
>> A = [ 22 2 44; 2 3 10; 2 4 6];
 +
>> B = [33 2 7; 32 9 1; 2 8 10];
 +
>> [X L] = eig(A,B)
 +
 +
>> [X L] = eig(A,B)
 +
 +
X =
 +
 +
    0.3172    1.0000  -0.1075
 +
  -1.0000    0.3641    1.0000
 +
    0.7838  -0.5667  -0.0095
 +
 +
 +
L =
 +
 +
    2.8282        0        0
 +
        0  -0.0742        0
 +
        0        0    0.4848
 +
 +
</pre></code>
 +
 +
Проверка
 +
>> (A - L(1,1)*B)*X(:,1)
 +
ans =
 +
  1.0e-13 *
 +
  -0.1421
 +
  -0.1510
 +
  -0.0355
 +
 +
== Корени на алгебрични уравнения  fzero() ==
 +
 +
f(x) = 0;
 +
 +
x = fzero(@sin, 3) % 3 e началното приближение
 +
x =
 +
    3.1416
 +
 +
x - tg(x) = 0 % da se namerqt pyrvite tri polozhitelni korena
 +
 +
x = -5 : 0.01 : 20; plot(x, (x-tan(x)));
 +
x = -5 : 0.01 : 20; plot(x, (x.*cos(x)-sin(x)));
 +
>> x1 = fzero('x.*cos(x)-sin(x)', [4 5])
 +
x1 =
 +
    4.4934
 +
 +
f(x) - kato string
 +
 +
  f = inline('x.*cos(x)-sin(x)')
 +
  f =
 +
    Inline function:
 +
    f(x) = x.*cos(x)-sin(x)
 +
 +
== Минимум на една функция ==
 +
 +
fminbnd('x.*cos(x)-sin(x)', -10, 10)
 +
ans =
 +
    3.1416
 +
 +
== Числено пресмятане на определени интеграли quad() ==
 +
 +
quad(@function(x), a, b);
 +
 +
quad(@function(x), a, b, eps); % tochnost
 +
 +
quad('1./(x.^3+5)', -0, 2, 1.e-15)
  
 
[[Category:Matlab]]
 
[[Category:Matlab]]

Latest revision as of 14:01, 19 April 2011

Стринг с апостроф

Когато искаме апостроф слагаме два апострофа! 

ilian'co => ilian''co
 >> ''diff''
 ??? ''diff''
      |
 Error: Unexpected MATLAB expression.
 
 >> '''diff'''
 ans =
 'diff'

Масив от клетки

Всеки елемент може да е от различен тип 

Cells = { 10, pi, 3+4i, 'MuPad', [1 2 3], [1 2 3; 4 5 6] , {'a', 1} }

Cells = 

  Columns 1 through 5

    [10]    [3.1416]    [3.0000 + 4.0000i]    'MuPad'    [1x3 double]

  Columns 6 through 7

    [2x3 double]    {1x2 cell}

Достъп до всички данни на масива от клетки 

for i = 1:6, Cells(i), end
Cells{6}{2}

Преобразувания на Лаплас

>> syms h w p k
>> syms t, ilaplace(h*w/((p^2+w^2)*(p^2+k^2)), p, t)
 
ans =
 
(h*sin(t*w))/((k + w)*(k - w)) - (h*w*sin(k*t))/(k*(k + w)*(k - w))
 
>> y = simplify(ans)
 
y =
 
(h*(k*sin(t*w) - w*sin(k*t)))/(k*(k^2 - w^2))
 
>> pretty(y)

  h (k sin(t w) - w sin(k t))
  ---------------------------
              2    2
          k (k  - w )
>>

syms p x, fi = ilaplace(1/(p-1)^2, p, x)
fi =
x*exp(x)


>> syms x p k w
>> f = exp(-k*x)*sin(w*x + k);
>> F = laplace(f, x, p)
 
F =
 
(sin(k)*(k + p) + w*cos(k))/((k + p)^2 + w^2)
 
>> syms t, pretty(simplify(F, p,x))
??? Error using ==> sym.simplify
Too many input arguments.
 
>> syms t, simplify(ilaplace(F, p,x))


 
ans =
 
sin(k + w*x)/exp(k*x)

Пример: ... няма го 

>> syms x p ,laplace(exp(-x)*sin(2*x),x,p)
ans =
2/((p + 1)^2 + 4)

y = ilaplace(2*p/((p^2+p+1)*((p+1)^2+4)), p, x)
plot(-13:0.01:3,subs(y,x, -13:0.01:3))
Лаплас

Проверка 

>> diff(y,x) +y + int(subs(y,x,t),t,0,x)
ans =
(2*cos(2*x))/(13*exp(x)) - (8*(cos(2*x)/4 - 2*sin(2*x)))/(13*exp(x)) - (8*(cos((3^(1/2)*x)/2)/4 +

(3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/2))/(13*exp(x/2)) - (2*cos((3^(1/2)*x)/2))/(13*exp(x/2)) - (3*sin(2*x))/(13*exp(x)) + (4*(cos((3^(1/2)*x)/2) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/6))/(13*exp(x/2)) + (14*3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2))/(39*exp(x/2)) 

>> simplify(ans)
ans =
sin(2*x)/exp(x)


Решаване системи линейни уравнения

A*x= B x = A\B % \ може да се прилага при правоъгълни матрици, при повече редове от колони се решава за средно квадратичната стойност 

A = [3 7 5; 2 6 9; 4 4 4]
A =

    3     7     5
    2     6     9
    4     4     4
>> b = [2 3 4]'
b =
    2
    3
    4
>> A\b
ans =
   1.0500
  -0.4500
   0.4000

При лошо обоснована матрица може да има грешки 

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
    1     2     3
    4     5     6
    7     8     9
>> det(A)
ans =
    0  % -> лошо обоснована матрица

>> x = A\b
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
        Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-18. 
x =
 -3.333333333333333
  5.666666666666667
 -2.000000000000000

Eigen values lambda = eig(A)

трептения на системи с няколко степени на свобода 

A*x = lam*x
(A-lam*I)*x = 0 % homogenna
det(A - lam*I) = 0 % togava ima resheniq A[n][m]
a[1]lam^n + a[2]lam^(n-1) ... = 0 % edin polinom ot n stepen ima n re[eniq
lam[1], lam[2] ... - собствени стойности на матрицата А

за всяка собствена стойност има собствен вектор от решения 

lambda = eig(A)
[X, L] = eig(A)
lambda[1] = L(1,1); lambda[2] = L(2,2)

Обощена задача на собствените стойности 

A*x = lam*B*x % Anxn, Bnxn
(A-lam*B)x = 0
det(A-lam*B) = 0

0

>> A = [ 22 2 44; 2 3 10; 2 4 6];
>> B = [33 2 7; 32 9 1; 2 8 10];
>> [X L] = eig(A,B)

>> [X L] = eig(A,B)

X =

    0.3172    1.0000   -0.1075
   -1.0000    0.3641    1.0000
    0.7838   -0.5667   -0.0095


L =

    2.8282         0         0
         0   -0.0742         0
         0         0    0.4848

Проверка 

>> (A - L(1,1)*B)*X(:,1)
ans =
  1.0e-13 *
  -0.1421
  -0.1510
  -0.0355

Корени на алгебрични уравнения fzero()

f(x) = 0; 

x = fzero(@sin, 3) % 3 e началното приближение
x =
   3.1416

x - tg(x) = 0 % da se namerqt pyrvite tri polozhitelni korena

x = -5 : 0.01 : 20; plot(x, (x-tan(x)));
x = -5 : 0.01 : 20; plot(x, (x.*cos(x)-sin(x)));
>> x1 = fzero('x.*cos(x)-sin(x)', [4 5])
x1 =
   4.4934

f(x) - kato string 

 f = inline('x.*cos(x)-sin(x)')
 f =
    Inline function:
    f(x) = x.*cos(x)-sin(x)

Минимум на една функция

fminbnd('x.*cos(x)-sin(x)', -10, 10)
ans =
   3.1416

Числено пресмятане на определени интеграли quad()

quad(@function(x), a, b);

quad(@function(x), a, b, eps); % tochnost

quad('1./(x.^3+5)', -0, 2, 1.e-15)

Retrieved from "https://ilianko.com/index.php?title=Упражнение_5._Matlab&oldid=800"