Числено интегриране

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. $f(x)=\phi (x)+r(x)$, където:

• $\phi (x)$ може да се интегрира точно
• $r(x)$ e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала $[a,b]$ за $f(x)$.

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

• Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
• когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Представяме интеграла по следния начин: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}A_{i}f(x_{i})+R(f)$.

Формули на Нютон-Коутс за числено интегриране

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници $\int _{2}^{3}{\frac {ln(x)}{x}}\,dx,n=10$

Решение. По условие $[a,b]=[2,3];n=10$

Метод на правоъгълниците

$h={\frac {b-a}{n}}={\frac {3-2}{10}}=0.1$

Метод на правоъгълниците

Съгласно $I\approx \int _{a}^{b}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}+\int _{x_{1}}^{x_{2}}+...+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}}=y_{0}h+y_{1}h+...+y_{n-1}h=h\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}$

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

$I\approx h\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}=0.362193$

Аналитично решение

$\int _{2}^{3}{\frac {log(x)}{x}}dx=1/2(log^{2}(3)-log^{2}(2))\approx 0.363248$

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % sum
for i = 2:h:3-h
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране: $\vert r_{0}\vert \leq \left|\int _{x_{0}}^{x_{1}}R_{0}\,dx\ \right|\leq M_{1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{1}}(x-x_{0})\,dx\ \right|=M_{1}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}{\Bigg |}_{x_{0}}^{x_{1}}=M_{1}{\frac {h^{2}}{2}}=O(h^{2})$

Сумарна грешка:

$R\leq n*M_{1}{\frac {h^{2}}{2}}=M_{1}{\frac {h(b-a)}{2}}$

$M_{1}=\max \limits _{[2,3]}\vert f'(\xi )\vert$

$f={\frac {ln(x)}{x}}$ за $f'={\frac {1-ln(x)}{x^{2}}}$

Максималната стойност в [2,3] на $f'={\frac {1-ln(x)}{x^{2}}}$ е при x = 2

$M_{1}={\frac {1-ln(2)}{2^{2}}}=0.077$

$R=M_{1}{\frac {h(b-a)}{2}}=0.077*0.1/2=0.004$

Анализ

Разликата от аналитичното решение и численото решение е $0.3632-0.3621=0.0011$, което е в рамките на максималната грешка.

Формула на трапеца

Геометрично извеждане

Идеята на геометричното извеждане е да замести площта под кривата y = f(x) за x = a до х = b с площта на трапец ограничена от точките (a, 0), (b, 0), [a, f (a)], и [b, f (b)].

Метод на трапеца

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\left[f(a)+f(b)\right]$

Правилото на трапеца няма как да е точно за големи интервали, но ако разглежданият интервал се раздели на по-малки интервали и се сумират техните стойности ще се получи сравнително точно заместване. Ако функцията f има втора производна то грешката от интегриране намалява с $h^{2}$, където h e големината на интеграла.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx h\left({\frac {f(x_{0})}{2}}+f(x_{1})+\dots +f(x_{n-1})+{\frac {f(x_{n})}{2}}\right)$

Аналитично извеждане

$L_{1}(x)=y_{0}{\frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}+y_{0}{\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{0}}}<=>L_{1}(x)=y_{0}{\frac {x-x_{1}}{h}}+y_{0}{\frac {x-x_{1}}{h}}$

грешка на приближението $R_{1}(x)={\frac {f''(\xi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1})$

$|R_{1}(x)|\leq {\frac {M_{2}}{2}}\left|(x-x_{0})(x-x_{1})\right|$ , където

$M_{2}=\max \limits _{[a,b]}\left|f''(\xi )\right|$

$f(x)=L_{1}(x)+R_{1}(x)$

Интегрираме в интервала $[x_{0},x_{1}],\,I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L_{1}(x)\,dx+\int _{x_{0}}^{x_{1}}R_{1}(x)\,dx$

${\begin{aligned}I\approx \int _{x_{0}}^{x_{1}}L_{1}(x)\,dx=\\&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left(y_{0}{\frac {x-x_{1}}{-h}}+y_{1}{\frac {x-x_{0}}{h}}\right)\,dx\\&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y_{0}{\frac {x-x_{1}}{-h}}\,dx+\int _{x_{0}}^{x_{1}}y_{1}{\frac {x-x_{0}}{h}}\,dx\\&={\frac {y_{0}}{-h}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}(x-x_{1})\,dx+{\frac {y_{1}}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}(x-x_{0})dx\\&={\frac {y_{0}}{-h}}{\frac {(x-x_{1})^{2}}{2}}{\Bigg |}_{x_{0}}^{x_{1}}+{\frac {y_{1}}{h}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}{\Bigg |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\&=h{\frac {(y_{0}+y_{1})}{2}}\end{aligned}}$

$|r_{1}|\leq M_{2}{\frac {h^{3}}{12}}$

Постановка

$I\approx h\left({\frac {y_{0}+y_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}{y_{i}}\right)$