Числено интегриране

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \phi(x) + r(x)} , където:

• Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(x)} може да се интегрира точно
• $r(x)$ e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала $[a,b]$ за $f(x)$.

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

• Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
• когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Тогава:

Друг подход е следният: Представяме интеграла по следния начин:

(1) $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}A_{i}f(x_{i})+R(f)$.

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int _{2}^{3}{\frac {ln(x)}{x}}\,dx,n=10}

Решение. По условие Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle [a,b]=[2,3];n=10}

Решение

Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}={\frac {3-2}{10}}=0.1}

Съгласно $I\approx \int _{a}^{b}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}+\int _{x_{1}}^{x_{2}}+...+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}}=y_{0}h+y_{1}h+...+y_{n-1}h=h\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}$

x = {2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3}

y = {0.346574, 0.353303, 0.35839, 0.362134, 0.364779, 0.366516,0.367504, 0.367871, 0.367721, 0.367142, 0.366204}.

Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I\approx h\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}=0.362193}

Аналитично решение

$\int _{2}^{3}{\frac {log(x)}{x}}dx=1/2(log^{2}(3)-log^{2}(2))\approx 0.363248$

Решение с Матлаб

h = 0.1 % step
m = 0; % temp
for i = 2:0.1:3-0.1
m = log(i)/i + m
end
I = m*h
I =  0.36219

Оценка на грешката

Грешка от интегриране: Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \vert r_{0}\vert \leq \left|\int _{x_{0}}^{x_{1}}R_{0}\,dx\ \right|\leq M_{1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{1}}(x-x_{0})\,dx\ \right|=M_{1}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}{\Bigg |}_{x_{0}}^{x_{1}}=M_{1}{\frac {h^{2}}{2}}=O(h^{2})}

Сумарна грешка:

Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle R\leq n*M_{1}{\frac {h^{2}}{2}}=M_{1}{\frac {h(b-a)}{2}}}

Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M_{1}=\max \limits _{[2,3]}\vert f'(\xi )\vert }

Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f={\frac {ln(x)}{x}}} за $f'={\frac {1-ln(x)}{x^{2}}}$

Максималната стойност в [2,3] на $f'={\frac {1-ln(x)}{x^{2}}}$ е при x = 2

$M_{1}={1-ln(2)}{2^{2}}=0.077$ <math> R = M_1 \frac{h(b-a)}{2} = 0.077*0.1/2 = 0.004