Числено интегриране

В числения анализ, числено интегриране определя група от алгоритми за намиране стойността на определен интеграл. Понятието се използва и при численото решаване на диференциални уравнения.

Идеята на численото интегриране е функцията f(x) да се приближи с подходяща функция φ(x), която по-лесно може да се интегрира. $f(x)=\phi (x)+r(x)$, където:

• $\phi (x)$ може да се интегрира точно
• $r(x)$ e остатъка (грешката - residual)

Най-често φ(x) е интерполационен полином построен по някакви възли в интервала $[a,b]$ за $f(x)$.

Числените методи за интегриране се налага да се използват:

• Когато не съществува примитивна функция за f(x) (интегралът не се изразява с елементарни функции)
• когато примитивната функция за f(x) е много сложен израз

Ако f(x) е плавно изменяща се функция, която може да се интегрира в малък брой измерения и има определени гранични стойности, съществуват редица методи с различна степен на точност за апроксимиране на интеграла $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Тогава:

Друг подход е следният: Представяме интеграла по следния начин:

(1) $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}A_{i}f(x_{i})+R(f)$.

Пример. Да се пресметне по формулата на десните правоъгълници $\int _{2}^{3}{\frac {ln(x)}{x}}\,dx,n=10$

Решение. По условие $[a,b]=[2,3];n=10$

$h={\frac {b-a}{n}}={\frac {3-2}{10}}=0.1$

Съгласно $I\approx \int _{a}^{b}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}+\int _{x_{1}}^{x_{2}}+...+\int _{x_{n-1}}^{x_{n}}=y_{0}h+y_{1}h+y_{n-1}=h\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}$